定义

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。

即：若，则叫做a的平方根，记作x=。其中a叫被开方数。其中正的平方根被称为算术平方根。

注意事项：被开方数可以是数，也可以是代数式。被开方数为正或0的，其平方根为实数；被开方数为负的，其平方根为虚数。

最简二次根式

最简二次根式条件：

1. 被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；
2. 被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。

二次根式化简一般步骤：

1. 把带分数或小数化成假分数；
2. 把开方数分解成质因数或分解因式；
3. 把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外；
4. 化去根号内的分母，或化去分母中的根号；
5. 约分。

算术平方根

非负数的平方根统称为算术平方根，用（a≥0）来表示。

负数没有算术平方根，0的算术平方根为0。

应用

二次根式的应用主要体现在两个方面：

1. 利用从特殊到一般，再由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题；
2. 利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。

性质

1. 任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。如正数a的算术平方根是，则a的另一个平方根为-；最简形式中被开方数不能有分母存在[1]。
2. 零的平方根是零，即；
3. 负数的平方根也有两个，它们是共轭的。如负数a的平方根是。
4. 有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。
5. 无理数可用连分数形式表示，如:。
6. 当a≥0时，；与中a取值范围是整个复平面。
7. 任何一个数都可以写成一个数的平方的形式；利用此性质可以进行因式分解。
8. 逆用可将根号外的非负因式移到括号内，如（a>0），（a<0），﹙a≥0﹚，（a<0）。
9. 注意：，然后根据绝对值的运算去除绝对值符号。
10. 在初中阶段的学习中，二次根式具有双重非负性，即不仅a≥0而且≥0。

有理化因式

两个含有二次根式的代数式相乘，如果他们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式。

注意：①他们必须是成对出现的两个代数式；②这两个代数式都含有二次根式；③这两个代数式的积化简后不再含有二次根式；④一个二次根式可以与几个二次根式互为有理化因式。

常用有理化因式有:

与，与，与，与，与。

分母有理化

在分母含有根号的式子中，把分母的根号化去，叫做分母有理化。

分母有理化即将分母从非有理数转化为有理数的过程，以下列出分母有理化的几种方法：

1. 直接利用二次根式的运算法则：

例：﹙b不为0﹚

2.利用平方差公式：

例：﹙a≠b﹚

3.利用因式分解：

例：（此题可运用待定系数法便于分子的分解）

4.利用约分：

﹙x，y不同时为0﹚

﹙x，y不同时为0﹚

分子有理化

把分子中的根号化去，叫做分子有理化。

﹙a≠b﹚

换元法

换元法即把根式中的某一部分用另一个字母代替的方法，是化简的重要方法之一。

例：在根式中，令，即可得到

（此处，x>=-2,u>=0）

当0<=u<=3时，则-2<=x<=7

原式=3-u+5-u=8-2u；

当3<=u<=5时，则7<=x<=23

原式=u-3+5-u=2；

当u>=5时，x>=23

原式=

分析：通过换元法换元，将根号下的数化简，最后求值。

运算

加减法

1.同类二次根式

一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。化简：

2.合并同类二次根式

把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。

3.二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。

例如：（1）；（2）

乘除法

二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变，再把结果化为最简二次根式。

1. 乘法运算

用语言叙述为：两个数的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

推广

（a≥0，b≥0）

2.除法运算

用语言叙述为：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。

推广

（a≥0，b>0）

混合运算

二次根式混合运算与实数运算相同的运算顺序相同，先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的。

乘法公式

1.型，运用分配律化简，原式。

2.，直接运用平方差公式。

3.，直接运用完全平方公式。

4.型，运用分母有理化运算。

开平方运算

求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。

运算方法

1.确定运算顺序。

2.灵活运用运算定律。

3.正确使用乘法公式。

4.大多数分母有理化要及时。

5.在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化（但最后结果必须是分母有理化的）。

6.字母运算时注意隐含条件和末尾括号的注明。

7.提公因式时可以考虑提带根号的公因式。

共轭根式

当A，B，C，D都是有理式，而,中至少有一个是无理式时，称+和-互为共轭根式。这两式的积是有理式

两个根式互为共轭根式，则他们互为有理化因式。

共轭虚根（证明）

【共轭】定义：复数中，实部相等，而虚部互为相反数的一对复数，称为共轭复数对。

形如：a+bi和a-bi

【求根公式】：

对于任意一个一元二次方程，它的两个根是：,。这是由配方法求得的公式。

当时,。

所以，方程的两个根就变为：

和。

这样，两根的实部都为，两根的虚部和互为相反数，两根就成为了共轭的一对复根。

两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数（conjugate complex number）（当虚部不等于0时也叫共轭虚数）。复数z的共轭复数记作z'。

根据定义，若，则。即共轭复数所对应的点关于实轴对称。

1.代数特征：

（1）

（2）（实数），

（3）（为一实数）

（4）

2.运算特征：

（1）

（2）

（3）

（4）

3.模的运算性质：

（1）

（2）

（3），是复平面的两点间距离公式，由此几何意义可以推出复平面上的直线、圆、双曲线、椭圆的方程以及抛物线。

注意：z′表示复数z的共轭复数（实际形式为z上一横），z″表示复数z的共轭复数的共轭复数（为z上两横）。