含义编辑

一般地，对于函数y=f(x)（x∈R），我们把方程f(x)=0的实数根x叫作函数y=f(x)(x∈R)的零点（the zero of the function）。即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值。函数的零点不是一个点，而是一个实数。

术语解释

使得某系统的传递函数G(s)为0的s的值(注意s为复数)，该值在复平面上的点，就是零点。

若该系统的输入为U(s)，当s取值为零点处的值，则G(s)=0。又因为系统输出Y(s)=G(s)·U(s)，而s的特殊取值使得G(s)=0，所以此时无论输入信号为何种形式，最终输出Y(s)都是0，这也是零点的实际意义。

也可以这样说，若某系统工作在零点上，那么此时任何输入经过该系统后，输出都是0。

一般结论

若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号不同，即f(a)·f(b)≤0，则在区间[a,b]内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间[a,b]内至少有一个实数解。

一般结论：函数y=f（x）的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图像与x轴（直线y=0）交点的横坐标，所以方程f(x)=0有实数根，推出函数y=f(x)的图像与x轴有交点，推出函数y=f(x)有零点。

更一般的结论：函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的实数根，也就是函数y=f(x)的图像与函数y=g(x)的图像交点的横坐标，这个结论很有用。

变号零点就是函数图像穿过那个点，也就是在那个点两侧取值是异号（那个点函数值为零）。

不变号零点就是函数图像不穿过那个点，也就是在那个点两侧取值是同号（那个点函数值为零）。

注意：如果函数最值为0，则不能用此方法求零点所在区间。

应用

二分法求方程的近似解

（1）确定区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0，给定精确度；

（2）求区间(a,b)的中点x1；

（3）计算f(x1)；

①若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；

②若f(a)f(x1)<0，则令b=x1（此时零点x∈(a,x1));即图象为（a,x1）

③若f(x1)f(b)<0，则令a=x1。（此时零点x∈(x1,b)

（4）判断是否满足条件，否则重复(2)~(4)

例子

⑴素数计数函数：∑μ(n)J(n√x)/n，上标为∞，下标为n=1。

J(x)是一种阶性函数，定义为Li(x)-∑Li(x^ρ)-ln2+∫1/t(t-1)dt，

其中，Li(x)是多重对数，ρ是所有黎曼函数中所有实部中的非平凡零点。

⑵黎曼-冯·诺依曼公式(描写黎曼ζ函数的零点)：N(T)=(T(log(T/2π)-1)/2π)+Ο(logT)

⑶黎曼猜想：黎曼函数中所有实部中的非平凡零点很有可能全是½(结果为实)。

⑷佩龙公式(描写黎曼ζ函数和素数计算函数的关系：)

设G(n)=Σg(n)，上标为∞，下标为n=1

那么，A`(x)=Σg(n),下标为n≤x=ρ/2π¡∫G(n)x^z/zdz，上标为c+¡∞，下标为c-¡∞

其中，ρ是黎曼函数中所有实部中的非平凡零点