分类方法

高等数学将基本初等函数归为五类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

数学分析将基本初等函数归为六类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数。

下面一一介绍这些函数。

幂函数

定义

一般地，形如y=xα(α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x y=x0时x≠0）等都是幂函数。一般形式如下：y=x^α （ α为常数，且可以是自然数、有理数，也可以是任意实数或复数。）

基本初等函数

性质

幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。

幂函数取正值

当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：

a、图像都经过点（1,1）(0,0）；

b、函数的图像在区间。

指数函数

定义

指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为ex，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828，还称为欧拉数。一般形式如下：y=α^x （a>0, a≠1）

性质

当a>1时，指数函数对于x的负数值非常平坦，对于x的正数值迅速攀升，在 x等于0的时候，y等于1。当0<a<1时，指数函数对于x的负数值迅速攀升，对于x的正数值非常平坦，在x等于0的时候，y等于1。在x处的切线的斜率等于此处y的值乘上lna。即由导数知识得：

作为实数变量x的函数， 的图像总是正的(在x轴之上)并递增(从左向右看)。它永不触及x轴，尽管它可以无限程度地靠近x轴(所以，x轴是这个图像的水平渐近线。它的反函数是自然对数ln(x)，它定义在所有正数x上。

有时，尤其是在科学中，术语指数函数更一般性的用于形如（k属于R） 的函数，这里的 a 叫做“底数”，是不等于 1 的任何正实数。本文最初集中于带有底数为欧拉数e 的指数函数。

指数函数的一般形式为 (a>0且≠1) (x∈R)，从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得a>0且a≠1。

如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。

在函数中可以看到 ：

（1） 指数函数的定义域为R，这里的前提是a大于0且不等于1。对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不连续，因此我们不予考虑，同时a等于0函数无意义一般也不考虑。

（2） 指数函数的值域为R+ 。

（3） 函数图形都是上凹的。

（4） a>1时，则指数函数单调递增；若0<a<1，则为单调递减的。

（5） 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（不等于0）函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。

（7） 函数总是通过（0，1）这点,(若 ,则函数定过点(0,1+b))

（8） 指数函数无界。

（9）指数函数是非奇非偶函数

（10）指数函数具有反函数，其反函数是对数函数，它是一个多值函数。

对数函数

定义

一般地，函数y=logax（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。

其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函 数里对于a的规定，同样适用于对数函数。一般形式如下： （a>0, a≠1， x>0,特别当α=e时，记为y=ln x）

性质

定义域求解：对数函数y=logax 的定义域是{x 丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx（2x-1）的定义域，需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0 ，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}。

值域：实数集R，显然对数函数无界；

定点：对数函数的函数图像恒过定点（1，0）；

单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数；0<a<1时，在定义域上为单调减函数；

奇偶性：非奇非偶函数

周期性：不是周期函数

零点：x=1

注意：负数和0没有对数。

两句经典话：底真同对数正,底真异对数负。解释如下：

也就是说：若y=logab （其中a>0,a≠1，b>0）

当0<a<1, 0<b<1时，y=logab>0;

当a>1, b>1时，y=logab>0;

当0<a<1, b>1时，y=logab<0;

当a>1, 0<b<1时，y=logab<0。

三角函数

三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数。也就是说以角度为自变量，角度对应任意两边的比值为因变量的函数叫三角函数，三角函数将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级限或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、半正矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。

三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。三角函数（也叫做圆函数）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。

三角函数

常见三角函数主要有以下 6 种：

正弦函数 ：y =sinx

余弦函数 ：y =cos x

正切函数 ：y =tan x

余切函数 ：y =cot x

正割函数 ：y =sec x

余割函数 ：y =csc x

此外，还有正矢、余矢等罕用的三角函数。

反三角函数

反三角函数是一种基本初等函数。它是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x，反正割arcsec x,反余割arccsc x这些函数的统称，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切 ,反正割，反余割为x的角。

它并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。三角函数的反函数不是单值函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。欧拉提出反三角函数的概念，并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数。

主要有以下 6 个：

反正弦函数：y = arcsin x

反余弦函数：y = arccos x

反正切函数：y = arctan x

反余切函数：y = arccot x

反正割函数：y = arcsec x

反余割函数：y = arccsc x

使用几何画板绘制的三角函数图像

常数函数

定义

在数学中，常数函数（也称常值函数）是指值不发生改变（即是常数）的函数。例如，我们有函数f(x)=4，因为f映射任意的值到4，因此f是一个常数。更一般地，对一个函数f: A→B，如果对A内所有的x和y，都有f(x)=f(y)，那么，f是一个常数函数。

请注意，每一个空函数（定义域为空集的函数）无意义地满足上述定义，因为A中没有x和y使f(x)和f(y)不同。然而有些人认为，如果包括空函数的话，那么常数函数将更容易定义。

对于多项式函数，一个非零常数函数称为一个零次多项式。下列为一般形式：

y=C (C是常数)

性质

常数函数可以通过与复合函数的关系，从两个途径进行描述。

下面这些是等价的：

f: A→B是一个常数函数。 对所有函数g, h: C→A, fog=foh（“o”表示复合函数）。 f与其他任何函数的复合仍是一个常数函数。 上面所给的常数函数的第一个描述，是范畴论中常数态射更多一般概念的激发和定义的性质。

根据定义，一个函数的导函数度量自变量的变化与函数变化的关系。那么我们可以得到，由于常数函数的值是不变的，它的导函数是零。例如：

如果f是一个定义在某一区间、变量为实数的实数函数，那么当且仅当f的导函数恒为零时，f是常数。 对预序集合间的函数，常数函数是保序和倒序的；相反的，如果f既是保序的也是倒序的，如f的定义域是一个格，那么f一定是一个常数函数。

常数函数的其他性质包括：

任一定义域和陪域相同的常数函数是等幂的。 任一拓扑空间上的常数是连续的。 在一个连通集合中，当且仅当f是常数时，它是局部常数。