初中代数内容

初中代数包括数、式、方程与函数四部分，而代数式与代数方程又是其中两个重要内容，它们是既相关联而又有本质区别的。若从它们的整体结构看，有同有异大体上是相似的。

从字面上看，代数式与代数方程只差了“式”与“方程”，本质却不同。代数式是用基本的运算符号把数和表示数的字母连结而成的式子。这样代数式的变形与代数方程的变形就有了本质的区别。代数式的变形是恒等变形。恒等变形的理论依据是运算法则、运算性质、添括号去括号法则、因式分解的几种方法等。而代数方程的变形则是同解变形。

分类

1、有理方程

（1）整式方程

（2）分式方程

2、根式方程

代数方程的符号

代数方程的符号（signs for algebraic equations）是指方程中所涉及的各种符号，包括未知数符号及其他运算符号。[1]

应用

拉格朗日的代数方程求解理论

一元代数方程的求解历史可以追溯到公元2000年左右的古巴比伦时代，在漫长的求解历史中有很多伟大的数学家都为此做出了杰出的贡献，其中不乏许多关键性的人物:花拉子米、卡尔达诺、费拉里、拉格朗日、阿贝尔、伽罗瓦等;众多数学家中法国的拉格朗日是较为突出的一位，他对代数方程的求解做出了转折性的贡献，从此代数方程求解发生了巨大的变化，并由此促进了代数学的新生。

影响及意义

1770—1771年拉格朗日发表了一篇长达217页的论文Réflexions sur la Résolution algébrique deséquations，在这篇文章中拉格朗日总结了前人求解代数方程的各种方法并提出了自己的观点。拉格朗日对代数方程求解的主要贡献是:

提出了辅助方程理论即求解二次方程时需要预解一个一次的辅助方程，求解三次方程时需要预解一个二次的辅助方程，求解四次方程时需要预解一个三次的辅助方程;对于解二次方程，其辅助方程的解为原二次方程根的函数，并且在其根的置换下只能取一个值;对于解三次方程，其辅助方程的解为原三次方程根的函数，并且在其根的置换下只能取两个值;对于解四次方程，其辅助方程的解为原四次方程根的函数，并且在其根的置换下只能取三个值;因此，解方程最为关键的一步就是解原方程的辅助方程，那么在解五次方程时如果能预解一个四次的辅助方程，那么原五次方程也许就可解;进而解一个n次的方程，如果能预解一个n-1次的辅助方程，则原次方程或许就可解。

提出了用置换的思想进行代数方程求解，并提出预解式的概念，即:解代数方程实际是要求解它的辅助方程，因此需要寻找一个预解式，该预解式在原方程根的置换下取到的不同值的个数即为辅助方程的次数。如果能找到合适的预解式，那么就得到了辅助方程(在这里辅助方程的系数可由原方程的系数表示)，解答了辅助方程就可以顺利地得到原方程的解。

拉格朗日用置换的思想进行代数方程求解是代数方程求解史中一个伟大的转折点，它开辟了代数方程求解的新纪元。他彻底改变了人们的思维，使数学家从单纯地寻找代数技巧进行方程求解转变为寻找一种一般的、通用的方法——置换的思想进行方程求解;拉格朗日得出了一系列重要的代数知识，比如域的概念、置换群概念的雏形这些知识被以后的数学家鲁菲尼、高斯、阿贝尔、伽罗瓦等恰当的运用使代数方程求解问题最终得以解决，并推动了代数学本身的发展。所以，拉格朗日的工作对以后的代数学家产生了巨大的影响，直至今日还有很多的数学家在研读拉格朗日的著作。